划去矩阵A的某一行得到矩阵B,则矩阵的A秩等于矩阵B的秩的充要条件是所划去的行可用其余的行线性表示

Question

划去矩阵A的某一行得到矩阵B,则矩阵的A秩等于矩阵B的秩的充要条件是所划去的行可用其余的行线性表示

Answer 1

证明: 不妨设划去最后一行
将A,B转置, 考虑它们的列向量组
A^T = (a1,a2,...,as, b)
B^T = (a1,a2,...,as)
则 r(A) = r(B)
r(A^T) = r(B^T)
r(a1,a2,...,as, b) = r(a1,a2,...,as)
((a1,a2,...,as) X = b 有解
b 可由 a1,a2,...,as 线性表示.