已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=12cm，高AH=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．（1）当加工的矩形零件的两边EF

Question

已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=12cm，高AH=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．

（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF=2：3时，求这个矩形零件的面积；
（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．

Answer 1

（1）∵矩形零件的两边EF：GF=2：3，
∴设EF=2x，GF=3x，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴(AK)/(AH)=(FG)/(BC)，
则(8-2x)/(8)=(3x)/(12)，
解得：x=2，
则EF=4cm，FG=6cm，
故这个矩形零件的面积为：24cm²；

（2）∵BC=12cm，高AH=8cm，
∴S_△ABC=(1)/(2)×12×8=48（cm²），
∵矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9，
∴矩形零件DEFG的面积为：48×(4)/(9)=(64)/(3)（cm²），
设EF=acm，则FG=(64)/(3a)cm，
∵由（1）得：(AK)/(AH)=(FG)/(BC)，
∴(8-a)/(8)=((64)/(3a))/(12)，
解得：a₁=(8)/(3)，a₂=(16)/(3)，
当EF=a=(8)/(3)，则FG=8，此时EF：GF=(8)/(3)：8=1：3；
当EF=a=(16)/(3)，则FG=4，此时EF：GF=(16)/(3)：4=4：3．