已知函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行．求：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）≤x2+b恒成立．求b的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行．
求：（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤x²+b恒成立．求b的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx+ax²，
∴x＞0，f′(x)＝(1)/(x)+2ax，
∵函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴f′(x)＝(1)/(x)−2x，
∵x＞0，∴由f′(x)＝(1)/(x)−2x＞0，得0＜x＜(√(2))/(2)；由f′(x)＝(1)/(x)−2x＜0，得x＞(√(2))/(2)．
∴函数f（x）的单调减区间为（(√(2))/(2)，+∞），单调增区间为（0，(√(2))/(2)）．
（2）∵函数f（x）≤x²+b恒成立，
∴b≥lnx-2x²恒成立，
∴b≥（lnx-2x²）_max．
设g（x）=lnx-2x²，x＞0．
则g′(x)＝(1)/(x)−4x，
令g′(x)＝(1)/(x)−4x=0，得x=(1)/(2)．
当0＜x＜(1)/(2)时，g′（x）＞0；当x＞(1)/(2)时，g′（x）＜0．
∴当x=

作业帮用户 2016-11-19

问题解析

（1）由函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，解得a=-1．故f′(x)＝

(1)/(x)−2x，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由函数f（x）≤x²+b恒成立，知b≥lnx-2x²恒成立，故b≥（lnx-2x²）_max．由此能求出实数b的取值范围．

名师点评

本题考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义的应用．解题时要认真审题，注意直线平行的条件和等价转化思想的合理运用．

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