中心在原点,焦点在x轴上的双曲线,实轴长为2,其离心率√3斜率为1的直线L与双曲线相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过原点,求直线L方程

Question

中心在原点,焦点在x轴上的双曲线,实轴长为2,其离心率√3
斜率为1的直线L与双曲线相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过原点,求直线L方程

Answer 1

a=1,c/a=√3,c=√3,b^2=2, 设AB:y=x+m,代入x^2-y^2/2=1中,x^2-2mx-m^2-2=0
x1x2=-m^2-2,x1+x2=2m,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m^2=-2+2m^2
以AB为直径的圆经过原点 ,所以 OA⊥OB, x1x2+y1y2=0
m^2-4=0, m=2或-2 直线L方程为 y=x+2 或 y=x-2