求导[1+1/（2x）]^x为啥我求出来的结果是x（1+1/2x）^x-1*-1/(2x^2)*2结果竟是一个负数!但实际上明明是增函数

Question

求导[1+1/（2x）]^x
为啥我求出来的结果是x（1+1/2x）^x-1 * -1/(2x^2) * 2 结果竟是一个负数!但实际上明明是增函数

Answer 1

用对数求导法则
y=[1+1/（2x）]^x
两边取自然对数
ln(y)=x*ln(1+1/(2x))
两边求导
y'/y=ln(1+1/(2x))-1/(2x+1)
所以y'=y*[ln(1+1/(2x))-1/(2x+1)]
=[1+1/（2x）]^x[ln(1+1/(2x))-1/(2x+1)]
由于[1+1/（2x）]^x>0
所以要证明原函数是增函数
即证y'>0
即证ln(1+1/(2x))-1/(2x+1)>0
设g(x)=ln(1+1/(2x))-1/(2x+1)
则g'=-[(1/x)/(2x+1)^2]在 x>0时恒<0
所以g(x)递减
g(x)>lim g(x) x趋向于正无穷=0
所以g(x)>0得证
y'>0得证
增函数得证