如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，（1）求证：E、F、B、D四点共面；（2）求四边形EFDB的面积．

Question

如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点，
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求四边形EFDB的面积．

Answer 1

（1）证明：如答图所示，连接B₁D₁，
在△C₁B₁D₁中，C₁E=EB₁，C₁F=FD₁，
∴EF∥B₁D₁，且EF=(1)/(2)B₁D₁，
又A₁A

∥

.

B₁B，A₁A

∥

.

D₁D，∴B₁B

∥

.

D₁D，
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形．
∴B₁D₁∥BD，EF∥BD，
∴E、F、D、B四点共面
（2）由AB=a，知BD=B₁D₁=√(2)a，EF=(√(2))/(2)a，
DF=BE=√(BB21+B1E2)=√(a2+((a)/(2))2)＝(√(5))/(2)a，
过F作FH⊥DB于H，则DH=(DB−EF)/(2)＝(√(2))/(4)a
∴FH=√(DF2−DH2)＝√((5)/(4)a2−(2)/(16)a2)＝√((18)/(16)a2)＝(3√(2))/(4)a
四边形的面积为SEFBD＝(1)/(2)(EF+BD)×FH＝(1)/(2)((√(2))/(2)a+√(2)a)×(3√(2))/(4)a=(1)/(2)×(3√(2))/(2)×(3√(2))/(4)a2＝(9)/(8)a2