（2014•江门模拟）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求证：C1N⊥平面BCN；（2）求直线B1C与平面C1MN所成角θ的正弦值．

Question

（2014•江门模拟）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求证：C₁N⊥平面BCN；
（2）求直线B₁C与平面C₁MN所成角θ的正弦值．

Answer 1

证明：（1）∵CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
∴CA=AN=NA₁=A₁C₁=1，
又由AA₁⊥底面ABC，AA₁⊥底面A₁B₁C₁
∴∠ANC＝∠A1NC1＝(π)/(4)…（1分），
∴∠CNC1＝(π)/(2)，
即C₁N⊥NC…（2分），
因为CA⊥CB，BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面CAA₁C₁…（3分），
又∵C₁N⊂平面CAA₁C₁，
∴BC⊥C₁N…（4分），
因为BC∩NC=C，
所以C₁N⊥平面BCN…（5分）
（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC₁在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（6分），
则C（0，0，0）、C₁（0，0，2）、B₁（0，1，2）…（7分），M((1)/(2)，(1)/(2)，2)、N（1，0，1）…（8分），

C1M

＝((1)/(2)，(1)/(2)，0)、

C1N

＝(1，0，−1)、

CB1

＝(0，1，2)…（9分），
设平面C₁MN的一个法向为

n

＝(a，b，c)，则√(作业帮用户2017-11-05问题解析（1）由已知中CA=CB=1，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点，结合正棱柱的几何特征，易得∠ANC＝∠A1NC1＝(π)/(4)，进而C1N⊥NC，由CA⊥CB，BC⊥CC1，结合线面垂直的判定定理及性质可得BC⊥C1N，最后再由线面垂直的判定定理得到C1N⊥平面BCN；（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求直线B1C的方向向量与平面C1MN的一个法向量，代入向量夹角公式可得直线B1C与平面C1MN所成角θ的正弦值．（方法二）根据相似三角形的判定可得，△BAN＋～△NA1M，进而BN⊥MN，结合（1）中BN⊥C1N，可得BN⊥平面C1MN，延长B1B到B2，延长C1C到C2，使BB2=CC2=2，连接BC2、NC2，解△NBC2中，结合BN是平面C1MN的法向量，由所作知BC2∥B1C，可得答案．名师点评本题考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．考点点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，是空间线面关系的综合应用，难度较大，属于难题．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)