已知函数f(x)＝xn−4x，且f（4）=3．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意实数x1，x2∈[1，3]，有|f（x1）-f（x2）

Question

已知函数f(x)＝xn−(4)/(x)，且f（4）=3．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意实数x₁，x₂∈[1，3]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤t成立，求t的最小值．

Answer 1

（1）∵f（4）=4ⁿ-1=3即4ⁿ=4，
∴n=1，
∴f（x）=x-(4)/(x)，
∵函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，且f（-x）=-x+(4)/(x)=-（x-(4)/(x)）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；                                 
（2）任取0＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）
=x₂-x₁-(4)/(x2)+(4)/(x1)
=x₂-x₁+(4)/(x1•x2)（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（1+(4)/(x1•x2)），
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴（x₂-x₁）（1+(4)/(x1•x2)）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；                  
（3）依题意只需t≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
又|f（x₁）-f（x₂）|_max
=f（x）_max-f（x）_min
=f（3）-f（1）
=（3-(4)/(3)）-（1-4）
=(14)/(3)，
∴t≥(14)/(3)，
∴t_min=(14)/(3)．