已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{an}满足an+1=2f（an-1）+1，且a1=3，an＞1．（1）设bn=log2（an-1），求证：数列{bn+1}为等比数列；（2）设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Question

已知函数f（x）=x²+bx为偶函数，数列{a_n}满足a_n+1=2f（a_n-1）+1，且a₁=3，a_n＞1．
（1）设b_n=log₂（a_n-1），求证：数列{b_n+1}为等比数列；
（2）设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）证明：∵函数f（x）=x²+bx为偶函数，
∴f（-x）=f（x），∴b=0
∵a_n+1=2f（a_n-1）+1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）²，
∵b_n=log₂（a_n-1），
∴b_n+1=1+2b_n，
∴b_n+1+1=2（b_n+1）
∴数列{b_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
（2）由（1）可得，b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1
∴c_n=nb_n=n•2ⁿ-n，
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ-(n(n+1))/(2)
令T=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-(n(n+1))/(2)．