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(2014•番禺区一模)如图1,在△ABC中,AB=BC=a,AC=2b且a>2b.△ECD由△ABC沿BC方向平移得到,连接BE交AC于点O,连接AE.(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,并说明理由;(2)如本题图2,P是
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(2014•番禺区一模)如图1,在△ABC中,AB=BC=a,AC=2b且a>
b.△ECD由△ABC沿BC方向平移得到,连接BE交AC于点O,连接AE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/faedab64034f78f00fac54427a310a55b2191cd8.jpg)
(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,并说明理由;
(2)如本题图2,P是线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,再作QR⊥BC于R.试探究:点P移动到何处时,△PQR与△AOB相似?
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(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,并说明理由;
(2)如本题图2,P是线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,再作QR⊥BC于R.试探究:点P移动到何处时,△PQR与△AOB相似?
▼优质解答
答案和解析
(1)四边形ABCE是菱形.理由如下:
如图1,∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的,
∴EC∥AB,且EC=AB,
∴四边形ABCE是平行四边形,
又∵AB=BC,
∴四边形ABCE是菱形;
(2)∵四边形ABCE是菱形,
∴AC⊥BE,AO=OC=b,BO=OE.
如图2,当点P在BC上运动,使Rt△PQR与Rt△AOB相似时,
∵∠2是△OBP的外角,
∴∠2>∠3=∠ABO,
∴∠2不与∠ABO对应,
∴∠2与∠4对应,即必有∠2=∠4.
又AB=BC,
∴∠4=∠1,故有∠2=∠1,
∴OP=OC=b.
过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点,PC=2PG.
在Rt△POG和Rt△ABO中,cos∠2=
,cos∠4=
∵∠2=∠4,
∴
=
,
∴PG=
=
,
∴BP=BC-PC=BC-2PG=a-2×
=
,
∵a>
b,
∴a2-2b2>0,P在BC上.即BP=
时,△PQR∽△AOB.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0824ab18972bd407d6751d4c78899e510eb309d5.jpg)
如图1,∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的,
∴EC∥AB,且EC=AB,
∴四边形ABCE是平行四边形,
又∵AB=BC,
∴四边形ABCE是菱形;
(2)∵四边形ABCE是菱形,
∴AC⊥BE,AO=OC=b,BO=OE.
如图2,当点P在BC上运动,使Rt△PQR与Rt△AOB相似时,
∵∠2是△OBP的外角,
∴∠2>∠3=∠ABO,
∴∠2不与∠ABO对应,
∴∠2与∠4对应,即必有∠2=∠4.
又AB=BC,
∴∠4=∠1,故有∠2=∠1,
∴OP=OC=b.
过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点,PC=2PG.
在Rt△POG和Rt△ABO中,cos∠2=
PG |
OP |
AO |
AB |
∵∠2=∠4,
∴
PG |
OP |
AO |
AB |
∴PG=
AO•OP |
AB |
b2 |
a |
∴BP=BC-PC=BC-2PG=a-2×
b2 |
a |
a2−2b2 |
a |
∵a>
2 |
∴a2-2b2>0,P在BC上.即BP=
a2−2b2 |
a |
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