（2014•番禺区一模）如图1，在△ABC中，AB=BC=a，AC=2b且a＞2b．△ECD由△ABC沿BC方向平移得到，连接BE交AC于点O，连接AE．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由；（2）如本题图2，P是

Question

（2014•番禺区一模）如图1，在△ABC中，AB=BC=a，AC=2b且a＞√(2)b．△ECD由△ABC沿BC方向平移得到，连接BE交AC于点O，连接AE．

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由；
（2）如本题图2，P是线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，再作QR⊥BC于R．试探究：点P移动到何处时，△PQR与△AOB相似？

Answer 1

（1）四边形ABCE是菱形．理由如下：
如图1，∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形；

（2）∵四边形ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，AO=OC=b，BO=OE．
如图2，当点P在BC上运动，使Rt△PQR与Rt△AOB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3=∠ABO，
∴∠2不与∠ABO对应，
∴∠2与∠4对应，即必有∠2=∠4．
又AB=BC，
∴∠4=∠1，故有∠2=∠1，
∴OP=OC=b．
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，PC=2PG．
在Rt△POG和Rt△ABO中，cos∠2=(PG)/(OP)，cos∠4=(AO)/(AB)
∵∠2=∠4，
∴(PG)/(OP)=(AO)/(AB)，
∴PG=(AO•OP)/(AB)=(b2)/(a)，
∴BP=BC-PC=BC-2PG=a-2×(b2)/(a)=(a2−2b2)/(a)，
∵a＞√(2)b，
∴a²-2b²＞0，P在BC上．即BP=(a2−2b2)/(a)时，△PQR∽△AOB．