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在锐角△ABC中,cosB+cos(A-C)=sinC.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)当BC=2时,求△ABC面积的最大值.
题目详情
在锐角△ABC中,cos B+cos (A-C)=
sin C.
(Ⅰ) 求角A的大小;
(Ⅱ) 当BC=2时,求△ABC面积的最大值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dbb44aed2e738bd4543ea281a48b87d6277ff967.jpg)
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(Ⅰ) 求角A的大小;
(Ⅱ) 当BC=2时,求△ABC面积的最大值.
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▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ) 由cos B+cos (A-C)=
sin C,利用两角和与差的三角函数展开可求sin A,进而可求A
(Ⅱ) 由题 a=2,结合余弦定理4=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc,利用基本不等式可求bc的范围,进而可求三角形面积的最大值
(Ⅰ) 【解析】
因为cos B+cos (A-C)=
sin C,所以-cos (A+C)+cos (A-C)=
sin C,得
2sin A sin C=
sinC,故sin A=
.
因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°.
(Ⅱ) 【解析】
设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
由题意知 a=2,由余弦定理得
4=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc≥bc,所以△ABC面积=
bcsin60°≤
,
且当△ABC为等边三角形时取等号,所以△ABC面积的最大值为
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2fdda3cc7cd98d1051ee1c81243fb80e7bec9043.jpg)
(Ⅱ) 由题 a=2,结合余弦定理4=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc,利用基本不等式可求bc的范围,进而可求三角形面积的最大值
(Ⅰ) 【解析】
因为cos B+cos (A-C)=
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a6efce1b9d16fdfaca56d65eb18f8c5494ee7b43.jpg)
2sin A sin C=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0823dd54564e9258ab0e965e9982d158ccbf4e43.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6d81800a19d8bc3e3232167a878ba61ea8d34543.jpg)
因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°.
(Ⅱ) 【解析】
设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
由题意知 a=2,由余弦定理得
4=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc≥bc,所以△ABC面积=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d8f9d72a6059252df3090db4319b033b5bb5b967.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d000baa1cd11728bdb179c92cdfcc3cec3fd2c43.jpg)
且当△ABC为等边三角形时取等号,所以△ABC面积的最大值为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343c3d197919613b07eca808867.jpg)
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