已知三角形ABC,D为BC上一点,E为AD上一点,角BED=角BAC=2角DEC,求证BD=2CD

Question

已知三角形ABC,D为BC上一点,E为AD上一点,角BED=角BAC=2角DEC,求证BD=2CD

Answer 1

证明：在AD上截取AF=BE(1),连结CF,作CG‖BE交直线AD于G.
由∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠BED=∠BAE+∠ABE
及已知∠BED=∠BAC,得∠CAF=∠ABE,
又由AC=BA及（1）式,可见△ACF≌△BAE（边角边）,
于是有CF=AE（2）,以及∠ACF=∠BAE,∠AFC=∠BEA,
∴∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED（3）.
∵CG‖BE,∴∠CGF=∠BED,∴∠CFG=∠CGF,
∴CG=CF（4）
由∠CFG=∠DEC+∠ECF,已知∠BED=2∠DEC及（3）式,
得∠ECF=∠DEC,∴CF=EF,由此及（1）、（2）两式,
得BE=2CF（5）.
再由CG‖BE,得BD∶CD=BE∶CG（6）.
综合（4）、（5）、（6）三式,得
BD∶CD=2CF∶CF=2.
故BD=2DC.