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已知f(x)是在R上单调递减的一次函数,且f[f(x)]=4x-1.(1)求f(x);(2)求函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大与最小值.
题目详情
已知f(x)是在R上单调递减的一次函数,且f[f(x)]=4x-1.
(1)求f(x);
(2)求函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大与最小值.
(1)求f(x);
(2)求函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大与最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可设f(x)=ax+b,(a<0),
由于f[f(x)]=4x-1,则a2x+ab+b=4x-1,
故
,解得a=-2,b=1.
故f(x)=-2x+1.
(2)由(1)知,函数y=f(x)+x2-x=-2x+1+x2-x=x2-3x+1,
故函数y=x2-3x+1图象的开口向上,对称轴为x=
,
则函数函数y=f(x)+x2-x在[-1,
]上为减函数,在[
,2]上为增函数.
又由f(
)=−
,f(-1)=6,f(2)=-1,
则函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大值为6,最小值为−
.
由于f[f(x)]=4x-1,则a2x+ab+b=4x-1,
故
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故f(x)=-2x+1.
(2)由(1)知,函数y=f(x)+x2-x=-2x+1+x2-x=x2-3x+1,
故函数y=x2-3x+1图象的开口向上,对称轴为x=
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则函数函数y=f(x)+x2-x在[-1,
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又由f(
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则函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大值为6,最小值为−
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