设O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=7a，则该双曲线的渐近线方程为（）A.x±3y=0B.3x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F₁PF₂=60°，|OP|=√(7)a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A. x±√(3)y=0
B. √(3)x±y=0
C. x±√(2)y=0
D. √(2)x±y=0

Answer 1

假设|F₁P|=x
OP为三角形F₁F₂P的中线，
根据三角形中线定理可知
x²+（2a+x）²=2（c²+7a²）
整理得x（x+2a）=c²+5a²
由余弦定理可知
x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²
整理得x（x+2a）=14a²-2c²
进而可知c²+5a²=14a²-2c²
求得3a²=c²
∴c=√(3)a
b=√(2)a
那么渐近线为y=±√(2)x，即√(2)x±y=0
故选D