函数f：R→R连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点．

Question

函数f：R→R连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点．

Answer 1

不妨设x₀是f（x）的唯一的极小值点，
则存在δ＞0，当0＜|x-x₀|＜δ时，有f（x）＞f（x₀），
下面我们证明x₀是f（x）的最小值点，即：对所有x∈R，f（x）≥f（x₀）．
用反证法，假若存在x₁∈R，使得f（x₁）＜f（x₀），
不妨设x₁＜x₀，由连续函数的介值性，存在ξ∈（x₀，x₁），使得f（ξ）=f（x₀）．
由于函数f（x）在[x₀，ξ]上连续，故存在最大值；
又因为∀x∈（x₀，x₀+δ）∩[x₀，ξ]，f（x）＞f（x₀）=f（ξ），
所以f（x）在[x₀，ξ]的内部某一点x₂达到最大值，
因而x₂也是f（x）的极大值点，
这与函数f（x）有唯一性的极值点相矛盾，
所以f（x₀）是最小值，结论得证．