如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）AC⊥平面PBD．

Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
求证：
（1）PA ∥ 平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

Answer 1

证明：（1）设AC∩BD=H，连接EH，
因为H为正方形ABCD对角线的交点，所以H为AC中点，
又E为PC中点，
所以EH为△PAC中位线，
EH ∥ PA，
EH⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以PA ∥ 平面BDE．
（2）因为AC、BD为正方形ABCD的对角线，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC，
又PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PDB．