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(2012•通州区一模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三角形,AA1⊥平面ABC,且AA1=AB=3,D是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(Ⅱ)求证:平面ADC1⊥平面DCC1;(Ⅲ)在侧棱CC1上是否

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(2012•通州区一模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三角形,AA1⊥平面ABC,且AA1=AB=3,D 是BC的中点.
(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1
(Ⅱ)求证:平面ADC1⊥平面DCC1
(Ⅲ)在侧棱CC1上是否存在一点E,使得三棱锥C-ADE的体积是
9
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,若存在,求CE长;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)连接A1C交AC1于点O,连接OD.
∵三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
∴四边形ACC1A1为矩形,可得点O为A1C的中点.
∵D为BC中点,得DO为△A1BC中位线,
∴A1B∥OD.
∵OD⊆平面ADC1,A1B⊈平面ADC1
∴A1B∥平面ADC1.…(4分)
(Ⅱ)∵底面ABC正三角形,D是BC的中点
∴AD⊥CD
∵CC1⊥平面ABC,AD⊆平面ABC,∴CC1⊥AD.
∵CC1∩CD=C,∴AD⊥平面DCC1
∵AD⊆平面ADC1,∴平面ADC1⊥平面DCC1.…(9分)
(Ⅲ)假设在侧棱CC1上存在一点E,使三棱锥C-ADE的体积是
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,设CE=m
∵三棱锥C-ADE的体积VC-ADE=VA-CDE
1
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×
1
2
×CD×CE×AD=
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,得
1
3
×
1
2
×
3
2
×m×
3
3
2
=
9
8

∴m=
3
,即CE=
3

∴在侧棱CC1上存在一点E,当CE=
3
时,三棱锥C-ADE的体积是
9
8
.…(14分)