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定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x3.(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;(2)若A={x|f(x)>a,x∈R},且A≠∅,求实数a的取值范围.
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定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x3.
(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;
(2)若A={x|f(x)>a,x∈R},且A≠∅,求实数a的取值范围.
(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;
(2)若A={x|f(x)>a,x∈R},且A≠∅,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4
(1)当x∈[3,5]时,x-4∈(-1,1],
∴f(x-4)=(x-4)3
又T=4,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)3,3≤x≤5
(2)当x∈[1,3]时,x-2∈[-1,1],
∴f(x-2)=(x-2)3
又f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3,1≤x≤3,
故f(x)=
(2)∵f(x)的周期函数,
∴f(x)的值域可以从一个周期来考虑
x∈[1,3]时,f(x)∈(-1,1]
x∈[3,5]时,f(x)∈[-1,1]
∴f(x)>a,对x∈R,A≠∅,
∴-1<a<1
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4
(1)当x∈[3,5]时,x-4∈(-1,1],
∴f(x-4)=(x-4)3
又T=4,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)3,3≤x≤5
(2)当x∈[1,3]时,x-2∈[-1,1],
∴f(x-2)=(x-2)3
又f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3,1≤x≤3,
故f(x)=
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(2)∵f(x)的周期函数,
∴f(x)的值域可以从一个周期来考虑
x∈[1,3]时,f(x)∈(-1,1]
x∈[3,5]时,f(x)∈[-1,1]
∴f(x)>a,对x∈R,A≠∅,
∴-1<a<1
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