记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及Sn；（Ⅱ）设bn=2n•an，求Tn=b1+b2+…+bn．

Question

记公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ•a_n，求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

（I）由a₃，a₅，a₈成等比数列得a₅²=a₃a₈，又S₃=9，（1分）
由此得

3a1+(3×2)/(2)d=9

(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

，解得，a₁=2，d=1（5分）
∴a_n=n+1，S_n=(n(2+n+1))/(2)=(1)/(2)n²+(3)/(2)n（7分）
（II）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ
∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ
2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹（9分）
两式相减得，
-T_n=2•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+(2(1-2n))/(1-2)-（n+1）•2ⁿ⁺¹（11分）
=-n•2ⁿ⁺¹（12分）
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹（13分）