已知D是△ABC的边上一点，AD：DC=2：1，∠C=45°，∠ADB=60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．

Question

已知D是△ABC的边上一点，AD：DC=2：1，∠C=45°，∠ADB=60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．

Answer 1

证明：如图，⊙O为△BCD的外接圆．
过B作BE⊥AD，E为垂足，不妨设AD=2，CD=1，设ED=x，
∵∠C=45°，
∴BE=x+1，
∵∠ADB=60°，
∴BE=√(3)DE=√(3)x，即√(3)x=x+1，
∴x=(√(3)+1)/(2)，
则BE=(3+√(3))/(2)，AE=AD-ED=2-x=(3-√(3))/(2)，
在RT△AEB中，AB²=BE²+AE²=（(3+√(3))/(2)）²+（(3-√(3))/(2)）²=6，
而AD•AC=2×3=6
∴AB²=AD•AC，而∠A公共，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
过B作直径BF，则∠ADF=90°，
连DF，则∠F=∠ACB=45°，
∴∠DBF=45°，
∴∠ABF=90°，
∴AB是⊙O的切线
即AB是△BCD的外接圆的切线．