为什么单位阶跃函数也能进行傅氏变换?不是傅氏积分存在定理说f(t)在时域内要绝对可积才能进行傅氏变换?这个函数明显不可积为什么能进行傅里叶变换,那傅里叶变换到底有什么限制条件?

Question

为什么单位阶跃函数也能进行傅氏变换?
不是傅氏积分存在定理说f(t)在时域内要绝对可积才能进行傅氏变换?这个函数明显不可积为什么能进行傅里叶变换,那傅里叶变换到底有什么限制条件?

Answer 1

我用的是"人民邮电出版社"的
f(t)在(-∞,+∞)上绝对可积,则F(ω)有界
满足绝对可积的能量信号f(t),其F(ω)存在
但引入广义函数,如冲激函数δ(t)后,一些不满足绝对可积的信号有确定的表达式F(ω)了
但这时的F(ω)已经不是初等函数,而是广义函数了,出现了无穷项δ(t)
("无穷"只是数学上的存在,实际中是不存在无穷的)
应该说是广义函数的引入拓展了傅里叶变换的范围
至于傅里叶变换的限制条件,到了拉普拉斯变换那章你应该会有更深入的了解
那里会有"极点"的概念(就是使拉普拉斯变换F(s)的分母为零的点)
当f(t)的拉普拉斯变换F(s)的极点:
1)全部位于复平面的复轴左侧时,傅里叶变换存在,且不含δ(t)
2)极点位于复平面的复轴左侧,且存在极点位于复轴上时,傅里叶变换存在,且包含δ(t)
3)存在极点位于复平面的复轴右侧,傅里叶变换不存在