求证1+1/2^2+1/3^2+……=π^2/6.用尽可能多的方法.最好不要用傅里叶级数.

Question

求证1+1/2^2+1/3^2+……=π^2/6.用尽可能多的方法.最好不要用傅里叶级数.

Answer 1

欧拉用正弦级数的泰勒展开式与正弦级数的无穷乘积做,这样比较简单 sinx=∑（-1）^(n+1）*x^（2n-1）/(2n-1)! 容易验证sinx/x=π（1-（x/nπ）^2)(第一个π表示无穷乘积） 则两个无穷级数的关系有∑（-1）^(n+1）*x^（2n-2）/(2n-1)!=π（1-（x/nπ）^2) 比较两边x^2项的系数有-1/3!=-∑1/（nπ）^2 即∑1/n^2=π^2/6
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