椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上两点AB与中心O的连线相互垂直,则1/OA2+1/OB2等于?

Question

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上两点AB与中心O的连线相互垂直,则1/OA2+1/OB2等于?

Answer 1

同学你好!

令A(x1,y1) B(x2,y2)
为了方便计算长度,我们引入极坐标：
得x1=ρ1cosθ,y1=ρ1sinθ,x2=ρ2cos(θ+π/2)=-ρ2cosθ,y2=ρ2sin(θ+π/2)=ρ2sinθ
将坐标带入椭圆方程即得
AO^2=ρ1^2=(a^2b^2)/(b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)
BO^2=ρ2^2=(a^2b^2)/(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)
*注b^2sin^2θ表示b的平方×sinθ的平方
1/OA^2+1/OB^2=[a^2(sin^2θ+cos^2θ)+b^2(sin^2θ+cos^2θ)]/(a^2b^2)=(a^2+b^2)/(a^2b^2)
由此得解.
答题完毕,谢谢^^