已知函数f（x）=-|x3-2x2+x|，x<1lnx，x≥1，若对于∀t∈R，f（t）≤kt恒成立，则实数k的取值

Question

已知函数f（x）=

-|x3-2x2+x|，x<1

lnx，x≥1

，若对于∀t∈R，f（t）≤kt恒成立，则实数k的取值范围是___．

Answer 1

当x<1时，f（x）=-|x³-2x²+x|=-|x（x-1）²|=

x(x-1)2，x<0

-x(x-1)2，0≤x<1

，
当x<0，f′（x）=（x-1）（3x-1）>0，
∴f（x）是增函数；
当0≤x<1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），
∴f（x）在区间（0，(1)/(3)）上是减函数，
在（(1)/(3)，1）上是增函数；
画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；
作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），
则由（lnx）′=(1)/(x)，得k=(1)/(m)，
即lnm=km，解得m=e，k=(1)/(e)；
设直线与y=x（x-1）²（x≤0）的图象相切于点（0，0），
∴y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），则有k=1，
由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，
以及与y=x（x-1）²（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）≤kt恒成立，
∴k的取值范围是[(1)/(e)，1]．
故答案为：[(1)/(e)，1]．