设Sn是正项数列an的前n项和,知4Sn＝a(n)^2＋2a(n)－3,求a(n).要S（n）-S（n-1）的计算过程

Question

设Sn是正项数列an的前n项和,知4Sn＝a(n)^2＋2a(n)－3,求a(n).
要S（n）-S（n-1）的计算过程

Answer 1

n=1时,
4S1=4a1=a1²+2a1-3
a1²-2a1-3=0
(a1+1)(a1-3)=0
a1=-1(数列是正项数列,a1>0,舍去)或a1=3
n≥2时,
4S(n-1)=a(n-1)²+2a(n-1)-3
4Sn-4S(n-1)=an²+2a(n-1)-3-[a(n-1)²+2a(n-1)-3]
4an=an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1)
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列是正项数列,an+a(n-1)>0,因此只有
an-a(n-1)=2,为定值
数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列
an=3+2(n-1)=2n+1
数列{an}的通项公式为an=2n+1