如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD是边长为3的正三角形，AC与BD交于点O，点M是PB的中点．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求三棱锥M-PCD的体积．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD是边长为√(3)的正三角形，AC与BD交于点O，点M是PB的中点．

（1）求证：OM∥平面PAD；
（2）求三棱锥M-PCD的体积．

Answer 1

（1）∵△BCD是正三角形，∴BC=CD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BCO=∠DCO，
∴O是BD的中点，又M是PB的中点，
∴OM∥PD，又OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴OM∥平面PAD．
（2）∵△BCD是边长为√(3)的正三角形，
∴∠CBD=∠CDB=60°，BD=√(3)，OC=(3)/(2)．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠OBA=∠ODA=30°，∴∠BAD=120°，
∴PA=AD=1．
∵OM∥PD，∴OM∥平面PCD，
∴V_M-PCD=V_O-PCD=V_P-OCD=(1)/(3)S△OCD•PA=(1)/(3)×(1)/(2)×(3)/(2)×(√(3))/(2)×1=(√(3))/(8)．