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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AD⊥CD,PA=AD,△BCD是边长为3的正三角形,AC与BD交于点O,点M是PB的中点.(1)求证:OM∥平面PAD;(2)求三棱锥M-PCD的体积.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AD⊥CD,PA=AD,△BCD是边长为
的正三角形,AC与BD交于点O,点M是PB的中点.
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(1)求证:OM∥平面PAD;
(2)求三棱锥M-PCD的体积.
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(1)求证:OM∥平面PAD;
(2)求三棱锥M-PCD的体积.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△BCD是正三角形,∴BC=CD,
∵∠ABC=∠ADC=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BCO=∠DCO,
∴O是BD的中点,又M是PB的中点,
∴OM∥PD,又OM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴OM∥平面PAD.
(2)∵△BCD是边长为
的正三角形,
∴∠CBD=∠CDB=60°,BD=
,OC=
.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠OBA=∠ODA=30°,∴∠BAD=120°,
∴PA=AD=1.
∵OM∥PD,∴OM∥平面PCD,
∴VM-PCD=VO-PCD=VP-OCD=
S△OCD•PA=
×
×
×
×1=
.
∵∠ABC=∠ADC=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BCO=∠DCO,
∴O是BD的中点,又M是PB的中点,
∴OM∥PD,又OM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴OM∥平面PAD.
(2)∵△BCD是边长为
3 |
∴∠CBD=∠CDB=60°,BD=
3 |
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∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠OBA=∠ODA=30°,∴∠BAD=120°,
∴PA=AD=1.
∵OM∥PD,∴OM∥平面PCD,
∴VM-PCD=VO-PCD=VP-OCD=
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