已知函数f（x）=1+9x2，x≤01+xex-1，x>0，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A.（0，π4）B.（0，π4]C.（0，π3）D.（0，π3]

Question

已知函数f（x）=

√(1+9x2，)	x≤0
1+xex-1，	x>0

，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（　　）

A. （0，

(π)/(4)）

B. （0，

(π)/(4)]

C. （0，

(π)/(3)）

D. （0，

(π)/(3)]

Answer 1

当x≤0时，由y=√(1+9x2)得y²-9x²=1，（x≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=-3x，此时渐近线的斜率k₁=-3，
当x>0时，f（x）=1+xe^x-1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，1+ae^a-1），
函数的导数f′（x）=e^x-1+xe^x-1=（x+1）e^x-1，
则切线斜率k₂=f′（a）=（a+1）e^a-1，
则对应的切线方程为y-（1+ae^a-1）=（1+a）e^a-1（x-a），
即y=（1+a）e^a-1（x-a）+1+ae^a-1，
当x=0，y=0时，（1+a）e^a-1（-a）+1+ae^a-1=0，
即a²e^a-1+ae^a-1=1+ae^a-1，
即a²e^a-1=1，得a=1，此时切线斜率k₂=2，
则切线和y=-3x的夹角为θ，
则tanθ=|(-3-2)/(1-2×3)|=(5)/(5)=1，则θ=(π)/(4)，
故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，(π)/(4)），
故选：A．