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已知函数f(x)=1+9x2,x≤01+xex-1,x>0,点A、B是函数f(x)图象上不同两点,则∠AOB(O为坐标原点)的取值范围是()A.(0,π4)B.(0,π4]C.(0,π3)D.(0,π3]
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已知函数f(x)=
,点A、B是函数f(x)图象上不同两点,则∠AOB(O为坐标原点)的取值范围是( )1+9x2, x≤0 1+xex-1, x>0
A. (0,
)π 4
B. (0,
]π 4
C. (0,
)π 3
D. (0,
]π 3
▼优质解答
答案和解析
当x≤0时,由y=
得y2-9x2=1,(x≤0),此时对应的曲线为双曲线,双曲线的渐近线为y=-3x,此时渐近线的斜率k1=-3,
当x>0时,f(x)=1+xex-1,当过原点的直线和f(x)相切时,设切点为(a,1+aea-1),
函数的导数f′(x)=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,
则切线斜率k2=f′(a)=(a+1)ea-1,
则对应的切线方程为y-(1+aea-1)=(1+a)ea-1(x-a),
即y=(1+a)ea-1(x-a)+1+aea-1,
当x=0,y=0时,(1+a)ea-1(-a)+1+aea-1=0,
即a2ea-1+aea-1=1+aea-1,
即a2ea-1=1,得a=1,此时切线斜率k2=2,
则切线和y=-3x的夹角为θ,
则tanθ=|
|=
=1,则θ=
,
故∠AOB(O为坐标原点)的取值范围是(0,
),
故选:A.
![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2019-04/15/1555257814-1860.jpg)
1+9x2 |
当x>0时,f(x)=1+xex-1,当过原点的直线和f(x)相切时,设切点为(a,1+aea-1),
函数的导数f′(x)=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,
则切线斜率k2=f′(a)=(a+1)ea-1,
则对应的切线方程为y-(1+aea-1)=(1+a)ea-1(x-a),
即y=(1+a)ea-1(x-a)+1+aea-1,
当x=0,y=0时,(1+a)ea-1(-a)+1+aea-1=0,
即a2ea-1+aea-1=1+aea-1,
即a2ea-1=1,得a=1,此时切线斜率k2=2,
则切线和y=-3x的夹角为θ,
则tanθ=|
-3-2 |
1-2×3 |
5 |
5 |
π |
4 |
故∠AOB(O为坐标原点)的取值范围是(0,
π |
4 |
故选:A.
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