经过双曲线x^2-y^2/3=1的左焦点F1倾斜角K的直线L与双曲线交于AB两点若AB长为6求K

Question

经过双曲线x^2-y^2/3=1的左焦点F1 倾斜角K的直线L与双曲线交于AB两点 若AB长为6 求K

Answer 1

双曲线x²-y²/3=1
∴a=1 b=√3 c=2
∴F1(-2,0)
∴直线方程为：y=k(x+2)
设两个交点分别为A(x1,y1) B(x2,y2)
将直线方程和双曲线方程联立方程组：
消去y得：3x²-k²(x+2)²=3
∴ (3-k²)x²-4k²x-(4k²+3)=0
判别式=(4k²)²+4(3-k²)(4k²+3)=4(9k²+9)
由距离公式：|AB|=√(1+k*2)× (√△/|3-k²|)=6
∴ 6*(1+k²)/|3-k²|=6
∴ 1+k²=|3-k²|
∴ 1+k²=3-k²或1+k²=k²-3(无解)
∴ k²=1
∴ k=1或k=-1