已知a,b,c属于R求证a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c

Question

已知a,b,c属于R求证a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c

Answer 1

当a=b=c时,显然有
ab+bc+ca=a*a+b*b+c*c=a^2+b^2+c^2
反之,当a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca时
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
因为a、b、c为实数,所以
a-b=0,b-c=0,c-a=0,即
a=b=c.