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设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数,且f(0)f′(0)f″(0)≠0.证明:存在惟一的一组实数a,b,c,使得当h→0时,af(h)+bf(2h)+cf(3h)-f(0)=o(h2).
题目详情
设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数,且f(0)f′(0)f″(0)≠0.证明:存在惟一的一组实数a,b,c,使得当h→0时,af(h)+bf(2h)+cf(3h)-f(0)=o(h2).
▼优质解答
答案和解析
二阶麦克劳林公式为:f(x)=f(0)+f′(0)x+
x2+o(x2)
故:af(h)+bf(2h)+cf(3h)-f(0)=(a+b+c-1)f(0)+f'(0)•(ah+2bh+3ch)+f″(0)•
+o(h2)=o(h2);
f(0)、f′(0)、f″(0)≠0,h为自变量,所以有:
因为系数行列式
=(2×9-3×4)-(1×9-1×3)+(1×4-1×2)=2≠0
因此实数a,b,c有唯一解,即存在惟一的一组实数a,b,c,使得当h→0时,af(h)+bf(2h)+cf(3h)-f(0)=o(h2).
f″(0) |
2! |
故:af(h)+bf(2h)+cf(3h)-f(0)=(a+b+c-1)f(0)+f'(0)•(ah+2bh+3ch)+f″(0)•
ah2+4bh2+9ch2 |
2 |
f(0)、f′(0)、f″(0)≠0,h为自变量,所以有:
|
因为系数行列式
|
因此实数a,b,c有唯一解,即存在惟一的一组实数a,b,c,使得当h→0时,af(h)+bf(2h)+cf(3h)-f(0)=o(h2).
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