设函数f（x）在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且f（0）f′（0）f″（0）≠0．证明：存在惟一的一组实数a，b，c，使得当h→0时，af（h）+bf（2h）+cf（3h）-f（0）=o（h2）．

Question

设函数f（x）在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且f（0）f′（0）f″（0）≠0．证明：存在惟一的一组实数a，b，c，使得当h→0时，af（h）+bf（2h）+cf（3h）-f（0）=o（h²）．

Answer 1

二阶麦克劳林公式为：f(x)＝f(0)+f′(0)x+(f″(0))/(2!)x2+o(x2)
故：af（h）+bf（2h）+cf（3h）-f（0）=（a+b+c-1）f（0）+f'（0）•（ah+2bh+3ch）+f″(0)•(ah2+4bh2+9ch2)/(2)+o（h²）=o（h²）；
f（0）、f′（0）、f″（0）≠0，h为自变量，所以有：

a+b+c−1＝0

a+2b+3c＝0

a+4b+9c＝0

因为系数行列式

.

1  1  1 1  2  3 1  4  9

.

=（2×9-3×4）-（1×9-1×3）+（1×4-1×2）=2≠0
因此实数a，b，c有唯一解，即存在惟一的一组实数a，b，c，使得当h→0时，af（h）+bf（2h）+cf（3h）-f（0）=o（h²）．