已知一个圆的半径为R,求它的内接正多边形的周长和面积.详见补充.求正六边形,正十二边形,正二十四边形的周长和面积.

Question

已知一个圆的半径为R,求它的内接正多边形的周长和面积.详见补充.
求正六边形,正十二边形,正二十四边形的周长和面积.

Answer 1

答：依题意,相当于正n边形外接半径R的圆,则每条边长L作为弦长对于的圆心角弧度为：
a=2π/n
根据余弦定理有：
L^2=2R^2-2R^2*cosa=2R^2*[1-cos(2π/n)]
L=√2*R*√[1-cos(2π/n)]
故周长为nL=√2*nR*√[1-cos(2π/n)]
把n=6、12、24代入上式得周长分别为：3√2*R、6*√2*(2-√3)*R、24*√2*[1-cos(π/12)]*R

每边长与两个半径围成的面积
s=L*√[R^2-(L/2)^2]*(1/2)
总面积ns=（nL/2）*√[R^2-(L/2)^2]
把L及n代入上式即可解出具体答案.