设x属于(-1/2,0),a1=cos(sinx兀),a2=sin(cosX兀)比较大小

Question

设x属于(-1/2,0),a1=cos(sinx兀),a2=sin(cosX兀)比较大小

Answer 1

-1/2-π/20<-xπ<π/2
令θ= - xπ
原命题等价于：
a1=cos(sinxπ)=cos[-sin(πx)]=cos[sin(-xπ)]=cos(sinθ)
a2=sin(cosxπ)=sin[cos(-xπ)]=sin(cosθ)     其中θ∈(0 , π/2)
而a1可化为：
a1=sin[(π/2)-sinθ]
当0<θ<π/2时,有：
sinθ+cosθ<π/2  (*)
0y=sinx在(0,π/2)上是增函数,所以,
sin(cosθ)a2a1>a2
(*)
证明：
A(1,0); B(0,1)是单位圆上的两点,
P(x,y)是单位圆与θ角终边的交点,过P点作PM垂直于OX轴与M点,作PN垂直于
OY轴于N点；
PM=sinθ; PN=cosθ
四边形：S(AOBP)(1/2)*1*sinθ+(1/2)*1*cosθ<(1/4)*π*1^2
sinθ+cosθ<π/2