一根长20米的绳子,第一次减去全长的二分之一,第二次减去余下的三分之一；第三次减去余下的四分之一；依此推类,第九次减去余下的十分之一；你知道这九次一共减去多少米吗?

Question

一根长20米的绳子,第一次减去全长的二分之一,第二次减去余下的三分之一；
第三次减去余下的四分之一；依此推类,第九次减去余下的十分之一；你知道这九次一共减去多少米吗?

Answer 1

设第n次剪后剩下a（n+1）,那么a（2）=a(1)×(1/2);a(3)=a(2)×(1-1/3)=a(2)×(2/3);a(4)=a(3)×(1-1/4),由此可以推出a(n+1)=a(n)×[1-1/(n+1)]=a(n)×n/(n+1)=a(n-1)×(n-1)/n×n/(n+1)=······=a(1)×(1/2)×(2/3)×·····×n/(n+1)=a(1)×1/(n+1)
所以a（10）=20×1/10=2
减去的是20-2=18米