设函数f（x）在区间（-a，a）内有定义，若当x∈（-a，a）时，恒有|f（x）|≤x2，则x=0必是f（x）的（）A．间断点B．连续而不可导点C．可导点，且f′（0）=0D．可导点，且f′（0）≠0

Question

设函数f（x）在区间（-a，a）内有定义，若当x∈（-a，a）时，恒有|f（x）|≤x²，则x=0必是f（x）的（　　）

A．间断点
B．连续而不可导点
C．可导点，且f′（0）=0
D．可导点，且f′（0）≠0

Answer 1

由题意有：|f（x）|≤x²
令x=0得：
|f（0）|≤0
因此：f（0）=0．
又因为：

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x)=

lim

x→0

(f(x))/(x)=

lim

x→0

(f(x))/(x2)•x，
因为：-|f（x）|≤f（x）≤|f（x）|≤x²
所以：当x≠0时：
-1≤(f(x))/(x)≤1；
所以有：

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x)=

lim

x→0

(f(x))/(x2)•x=0，
由导数的定义即：
f'（0）=0
因此：f（x）在x=0处可导，因此必连续．
故选：C