设函数f（x）在（-∞，+∞）内满足f（x）=f（x-π）+sinx，且f（x）=x，x∈[0，π）．计算∫−2ππf(x)dx．

Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）内满足f（x）=f（x-π）+sinx，且f（x）=x，x∈[0，π）．计算

∫

−2π π

f(x)dx．

Answer 1

f（x）=f（x-π）+sinx 
所以：f（x+π）=f（x）-sinx    即：f（x）=f（x+π）+sinx
所以：f（x-π）=f（x+π）      即：f（x）=f（x+2π）  f（x）是以2π为周期的周期函数
又f（x）=f（x+π）+sinx=x+π+sinx，x∈（-π，0]，f（x）=x，x∈（-2π，-π]
所以：
原式=-

∫

π −2π

f(x)dx=-（

∫

−π −2π

xdx+

∫

0 −π

x+π+sinxdx+

∫

π 0

xdx）=−(π)/(2)−2