已知不等式ax^2+2x+1>0在x∈[-1,2]上恒成立,求实数a的取值范围

Question

已知不等式ax^2+2x+1>0在x∈[-1,2]上恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

一、显然,a不能为0,否则,原不等式就是：2x＋1＞0,当x＝－1时,2x＋1＝－1＜0.
　　∴这种情况应舍去.
二、当a＞0时,令y＝ax^2＋2x＋1.这是一条开口向上的抛物线.
　　∴当抛物线全在x轴的上方时,肯定在x∈［－1,2］上,y＞0.
　　∵y＝ax^2＋2x＋1在x轴的上方,∴ax^2＋2x＋1＝0无实数解,∴4－4a＜0,∴a＞1.
　　∴当a∈（1,＋∞）时,ax^2＋2x＋1＞0在x∈［－1,2］上恒成立.
三、当a＜0时,令f（x）＝ax^2＋2x＋1.这是一条开口向下的抛物线.
　　∴要使x∈［－1,2］上,f（x）＞0,就需要同时满足：
　　f（－1）＞0、f（2）＞0、4－4a＞0.
　　由4－4a＞0,得：a＜1.······①
　　由f（－1）＞0,得：a－2＋1＞0,∴a＞1.······②
　　①、②的矛盾,说明当a＜0时,无法使x∈［－1,2］上,f（x）＞0成立.
　　∴这种情况应舍去.
综上所述,得：当a∈（1,＋∞）时,ax^2＋2x＋1＞0在x∈［－1,2］上恒成立.