正方体ABCD-A`B`C`D`中.EF与异面直线AC,A`D都垂直相交,求证：EF平行BD

Question

正方体ABCD-A`B`C`D`中.EF与异面直线AC,A`D都垂直相交,求证：EF平行BD

Answer 1

辅助作图：取CD中点I,取AD中点H,取A1B1中点G,
连接这三个中点,组成一个面GHI.
则：A1D‖GI；AC‖HI
∵EF是A1D和AC的公垂线
∴也有：EF⊥GI,EF⊥HI
∴EF⊥面GHI
∵A1D和AC都是正方体的侧面对角线
∴AC⊥BD,AC⊥BB1
∴AC⊥面BDD1B1
∴AC⊥BD1
同理,A1D⊥BD1
∵A1D‖GI；AC‖HI
∴BD1⊥HI,BD1⊥GI
∴BD1⊥面GHI
根据：垂直同一个面的2条直线平行
BD1‖EF
故得证.