1.有一个凸八边形,将这8个点中任意2个点之间连线段,已知任意三条线段都没交于一点,请问所形成的图形中最多有多少个三角形?644是答案,求详解2.两条平行线上各有10个点,上下两点相连,可连1

Question

1.有一个凸八边形,将这8个点中任意2个点之间连线段,已知任意三条线段都没交于一点,请问所形成的图形中最多有多少个三角形?
644是答案,求详解
2.两条平行线上各有10个点,上下两点相连,可连10条线段,问最多有多少三角形?

Answer 1

1.
将三角形分成四类,（1）三个顶点都是凸八边形的顶点；（2）有且只有2个顶点是凸八边形的顶点；（3）有且只有1个顶点是凸八边形的顶点；（4）三个顶点都不是凸八边形的顶点.
（1）有56个,从8个顶点中任选3个构成三角形有8*7*6/（1*2*3）=56个
（2）280个,每个这样的三角形都可以看作顶点 为八边形的顶点的四边形中,对角线相交构成的三角形中的一个；从8个顶点中任选4个构成四边形（顶点为八边形的顶点中的四个）,有8*7*6*5/（1*2*3*4）=70个,每个四边形对角线相交,贡献4个这样的三角形,70*4=280；
（3）280个,每个这样的三角形都可以看作以八边形的顶点为顶点 的5边形中一个（有且只有1个顶点是5边形的顶点）三角形,每个五边形内有5个,从8点中任选5个有8*7*6/（1*2*3）=56种,5*56=280
（4）28个,从8个顶点中任选6个构成6边形,其对角线相交（任意三条线段都没交于一点）贡献1个三个顶点都不是凸八边形的顶点的三角形,这样的六边形有8*7/（1*2）=28个
56+280+280+28=644.
2.当所有交点不重叠时构成的三角形最多.构成的三角形共2类：
（1）3顶点都在两线上的三角形.
在一条直线上任选2个点有10*9/（1*2）=45种,与另线上的一点构成一个3顶点在两线上的三角形,
45*10*2=900,
（2）只2顶点在两线上的三角形
在2条直线上各任选2个点,构成四边形有45*45种,每个四边形中贡献4个只2顶点在两线上的三角形,4*45*45=8100.
8100+900=8900个
补充：1（3）也可：设凸八边形的八个顶点依次是A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8,只选定A1,有关对角线有5条,与A2发出的5条对角线交点依次是5、4、3、2、1个,依次贡献只含顶点A1的三角形5*4/2*1=10个,4*3/2*1=6个,3*2/2*1=3个,1个,共20个；
与A3发出的4条对角线（不含A1A3下同）交点依次是4、3、2、1个,依次贡献含顶点A1的三角形4*3/2*1=6个,3*2/2*1=3个,1个,共10个；与A4发出的3条对角线（不含A1A4、A2A4下同）交点依次是3、2、1个,依次贡献含顶点A1的三角形,3*2/2*1=3个,1个,共4个,……1个,共35个.35*8=280.其它各问也可以这样作.