已知函数f（x）=|x-a|-9x+a，x∈[1，6]，a∈R．（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Question

已知函数f（x）=|x-a|-(9)/(x)+a，x∈[1，6]，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

（1）∵a=1，x∈∈[1，6]，
∴f（x）=|x-1|-(9)/(x)+1=x-(9)/(x)，
∴f′（x）=1+(9)/(x2)＞0，
∴f（x）是增函数；
（2）因为1＜a＜6，所以f（x）=

2a-(x+(9)/(x))，1≤x≤a

x-(9)/(x)，a＜x≤6

，
①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
所以当x=6时，f（x）取得最大值为(9)/(2)．
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=(9)/(2)，
当3＜a≤(21)/(4) 时，2a-6≤(9)/(2)，当x=6时，f（x）取得最大值为(9)/(2)．
当(21)/(4)≤a＜6时，2a-6＞(9)/(2)，当x=3时，f（x）取得最大值为2a-6．
综上得，M（a）=

(9)/(2)，1＜a≤(21)/(4)

2a-6，(21)/(4)＜a＜6

．