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如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上的一动点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足为E、F,当线段EF的长最小时,cos∠EFD=.
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▼优质解答
答案和解析
考点:矩形的判定与性质 垂线段最短 锐角三角函数的定义 专题: 分析:连接CD,判断出四边形CEDF是矩形,再根据矩形的对角线相等可得EF=CD,然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小,利用勾股定理列式求出AB,根据矩形的性质可得∠EFD=∠ECD,再根据同角的余角相等求出∠ECD=∠A,从而得到∠EFD=∠A,然后根据锐角三角函数的定义列式计算即可得解. 如图,连接CD,∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90°,∴四边形CEDF是矩形,∴EF=CD,由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小,∵AC=3,BC=4,∴AB=AC2+BC2=32+42=5,∵四边形CEDF是矩形,∴∠EFD=∠ECD,∵∠ECD+∠ACD=90°,∠A+∠ACD=90°,∴∠ECD=∠A,∴∠EFD=∠A,在Rt△ABC中,cos∠A=ACAB=35,∴cos∠EFD=cos∠A=35.故答案为:35. 点评:本题考查了矩形的判定与性质,垂线段最短的性质,锐角三角函数的定义,熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键.
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