已知函数f(x)＝2cos2(x−π6)+2sin(x−π4)cos(x−π4)−1．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间[−π12，π2]上的值域．

Question

已知函数f(x)＝2cos2(x−(π)/(6))+2sin(x−(π)/(4))cos(x−(π)/(4))−1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[−(π)/(12)，(π)/(2)]上的值域．

Answer 1

（1）∵f(x)＝2cos2(x−(π)/(6))+2sin(x−(π)/(4))cos(x−(π)/(4))−1
=cos(2x−(π)/(3))+2sin(x−(π)/(4))cos(x−(π)/(4))
=(1)/(2)cos2x+(√(3))/(2)sin2x+sin(2x−(π)/(2))
=(1)/(2)cos2x+(√(3))/(2)sin2x−cos2x
=sin(2x−(π)/(6))…（5分）
∴周期 T＝(2π)/(2)＝π．由2x−(π)/(6)＝kπ+(π)/(2)，得 x＝(kπ)/(2)+(π)/(3)（k∈Z）
∴函数图象的对称轴方程为x＝(kπ)/(2)+(π)/(3)（k∈Z）…（7分）
（2）∵x∈[−(π)/(12)，(π)/(2)]，∴2x−(π)/(6)∈[−(π)/(3)，(5π)/(6)]，
又∵f（x）=sin(2x−(π)/(6))在区间[−(π)/(12)，(π)/(3)]上单调递增，
在区间[(π)/(3)，

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

（1）通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的对称轴方程求出函数的图象的对称轴方程；
（2）通过x∈[−(π)/(12)，(π)/(2)]，求出2x−(π)/(6)∈[−(π)/(3)，(5π)/(6)]，利用函数的单调性求出函数在[−(π)/(12)，(π)/(2)]上的值域，即可．

名师点评

本题考点：

三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．

考点点评：

本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，以及函数的闭区间上的最值的应用，考查计算能力，高考常考题型．

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