求函数z=x4-2x2y+2y2-4y+3的极值．

Question

求函数z=x⁴-2x²y+2y²-4y+3的极值．

Answer 1

由

zx＝4x(x2−y)＝0

zy＝−2x2+4y−4＝0

，
得驻点(0，1)，(√(2)，2)，(−√(2)，2)，
再来判别是否极值点，
D＝

.

zxx	zxy
zyxzyy

.

＝

.

12x2−4y	−4x
−4x	4

.

，
根据判别式计算，
∵

D(0，1)＝−16＜0

D(√(2)，2)＝32＞0，，zxx(√(2)，2)＝16＞0

，
∴点（0，1）非极值点．
 函数z在点(√(2)，2)处取极小值z(√(2)，2)＝−1．
      在点(−√(2)，2)处取极小值z(−√(2)，2)＝−1．