如图，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上且S△AOC：S△BOC=1：4，且OA、OB的长为关于x的方程x2-10x+m2=0的两个根．（1）求m的值．（2）若AC⊥BC，求OC的长及AC所在直线的解析式

Question

如图，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上且S_△AOC：S_△BOC=1：4，且OA、OB的长为关于x的方程x²-10x+m²=0的两个根．
（1）求m的值．
（2）若AC⊥BC，求OC的长及AC所在直线的解析式．
（3）在（2）问的条件下，线段AC上是否存在点M，过M作x轴的平行线交y轴于点D，交BC点E，过E作EF∥AC交x轴于F，使S_▱AMEF=(3)/(8)S_△ABC？若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

（1）∵S_△AOC：S_△BOC=1：4，
∴（(1)/(2)×OA×OC）：（(1)/(2)×OB×OC）=1：4，
∴OA：OB=1：4，
设OA=a，则OB=4a，
∵OA、OB的长为关于x的方程x²-10x+m²=0的两个根，
∴a+4a=10，
a=2，
即OA=2，OB=8，
故由根与系数的关系得：2×8=m²，
解得：m=±4；

（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△ACO∽△CBO，
∴(AO)/(OC)=(CO)/(OB)，
∴CO²=OA×OB=2×8=16，
∴OC=4，
∵OA=2，
∴C（0，4），A（-2，0），
∴设直线AC的解析式是y=kx+4，
把A的坐标代入得：0=-2k+4，
k=2，
∴AC所在直线的解析式是y=2x+4；

（3）线段AC上不存在点M，过M作x轴的平行线交y轴于点D，交BC点E，过E作EF∥AC交x轴于F，使S_▱AMEF=(3)/(8)S_△ABC．
理由是：∵M在直线AC上，直线AC的解析式是y=2x+4，
∴设M的坐标是（a，2a+4），
∵C（0，4）B（8，0），
∴设直线BC的解析式是y=dx+4，
∴把B的坐标代入得：0=8d+4，
d=-(1)/(2)，
∴直线BC的解析式是y=-(1)/(2)x+4，
∵ME∥AB，EF∥AC，
∴四边形AMEF是平行四边形，M的纵坐标与E的纵坐标相等，是2a+4，
把y=2a+4代入y=-(1)/(2)x+4得：x=-4a，
即E的坐标是（-4a，2a+4），
∴ME=AF=（-4a）-a=-5a，
假如存在点M，使S_▱AMEF=(3)/(8)S_△ABC，
则（-5a）•（2a+4）=(3)/(8)×(1)/(2)×（2+8）×4，
2a²+4a+3=0，
判别式△=4²-4×2×3＜0，
即此方程无解，
故线段AC上不存在点M，过M作x轴的平行线交y轴于点D，交BC点E，过E作EF∥AC交x轴于F，使S_▱AMEF=(3)/(8)S_△ABC．