如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0。（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形

Question

如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0。
（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
（2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标。

图1                                                        图2

Answer 1

（1）△AMN是直角三角形， 依题意得OA=2，OM=4，ON=1， ∴MN=OM+ON=4+1=5， 在Rt△AOM中，AM= = = 在Rt△AON中，AN= = = ∴MN 2 =AM 2 +AN 2 ， ∴△AMN是直角三角形； （解法不惟一）
（2）答：（1）中的结论还成立， 依题意得OA=2，OM=-m，ON=n， ∴MN=OM+ON=n-m， ∴MN 2 =（n-m） 2 =n 2 -2mn+m 2 ， ∵mn=-4， ∴MN 2 =n 2 -2×（-4）+m 2 =n 2 +m 2 +8， 又∵在Rt△AOM中，AM= = = 在Rt△AON中，AN= = = ∴AM 2 +AN 2 =4+m 2 +4+n 2 =n 2 +m 2 +8， ∴MN 2 =AM 2 +AN 2 ， ∴△AMN是直角三角形；（解法不惟一）
（3） ∵mn=-4，n=4， ∴m=-1，  设抛物线的函数关系式为y=ax 2 +bx+c， ∵抛物线经过点M（-1，0）、 N（4，0）和A（0，2）， ∴ ∴ ∴所求抛物线的函数关系式为y=- x 2 + x+2；
（4） 抛物线的对称轴与x轴的交点Q 1 符合条件， ∵l⊥MN，∠ANM=∠PN Q1， ∴Rt△PNQ 1 ∽Rt△ANM， ∵抛物线的对称轴为x= ， ∴Q 1 （ ，0）， ∴NQ 1 =4- = ， 过点N作NQ 2 ⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q 2 ， ∴Rt△PQ 2 N、Rt△NQ 2 Q 1 、Rt△PNQ 1 和Rt△ANM两两相似， ∴ ， 即Q 1 Q 2 - ， ∵点Q 2 位于第四象限， ∴Q 2 （ ，-5）， 因此，符合条件的点有两个，分别是Q 1 （ ，0），Q 2 （ ，-5）。