给定双曲线x2-y22=1．过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．

Question

给定双曲线x²-(y2)/(2)=1．过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程．

Answer 1

设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
∴4x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=(y1−y2)/(x1−x2)=(2x)/(y)，
∵k_AM=(y−1)/(x−2)，
∴(2x)/(y)=(y−1)/(x−2)，
∴2x²-y²-4x+y=0，
即线段P₁P₂的中点P的轨迹方程是2x²-y²-4x+y=0．