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如图,已知ABCD是边长为2的正方形,AF⊥平面ABCD,CE∥AF.(Ⅰ)证明:BD⊥EF;(Ⅱ)若AF=1,CE=2,求直线EF与平面BDF所成角的正弦值.
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如图,已知ABCD是边长为2的正方形,AF⊥平面ABCD,CE∥AF.
(Ⅰ)证明:BD⊥EF;
(Ⅱ)若AF=1,CE=2,求直线EF与平面BDF所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:BD⊥EF;
(Ⅱ)若AF=1,CE=2,求直线EF与平面BDF所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:连接AC,交BD于点O.
∵ABCD是正方形,
∴BD⊥AC,…(2分)
∵AF⊥平面ABCD,
∴AF⊥BD;…(4分)
又∵AC∩AF=A,AC,AF⊂平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF,…(6分)
又∵EF⊂平面ACEF,
∴BD⊥EF; …(7分)
(Ⅱ) 连接OE,OF,由(Ⅰ)知,BD⊥平面ACEF,
∴平面BDF⊥平面ACEF,
过E作EH⊥OF交于点H,则EH⊥平面BDF,
∴∠EFH即为直线EF与平面BDF所成的角.…(10分)
在△EFO中,EF=3,FO=
,EO=
,
∴△EFO为直角三角形(H点为O点)
∴sin∠EFH=
=
,…(13分)
∵ABCD是正方形,
∴BD⊥AC,…(2分)
∵AF⊥平面ABCD,
∴AF⊥BD;…(4分)
又∵AC∩AF=A,AC,AF⊂平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF,…(6分)
又∵EF⊂平面ACEF,
∴BD⊥EF; …(7分)
(Ⅱ) 连接OE,OF,由(Ⅰ)知,BD⊥平面ACEF,
∴平面BDF⊥平面ACEF,
过E作EH⊥OF交于点H,则EH⊥平面BDF,
∴∠EFH即为直线EF与平面BDF所成的角.…(10分)
在△EFO中,EF=3,FO=
3 |
6 |
∴△EFO为直角三角形(H点为O点)
∴sin∠EFH=
EO |
EF |
| ||
3 |
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