在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）

Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=(1)/(2)AB；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=√(3)（BE-CF）．

Answer 1

（1）如图1，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD=DC=(1)/(2)BC=2．
∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，
∴∠AED=360°-60°-90°-120°=90°，
∴∠BED=90°，
∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×(1)/(2)=1；

（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，

∠BMD=∠CND

∠B=∠C

BD=CD

，
∴△MBD≌△NCD，
∴BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，

∠EMD=∠FND

DM=DN

∠MDE=∠NDF

，
∴△EMD≌△FND，
∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN
=2BM=2BD×cos60°=BD=(1)/(2)BC=(1)/(2)AB；

（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．
同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．
同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．
∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，
BE-CF=BM+EM-CF=BM+NF-CF=BM+NC=2BM．
在Rt△BMD中，DM=BM•tanB=√(3)BM，
∴BE+CF=√(3)（BE-CF）．