在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=14（x-3）2向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．（1）求∠OBA的正切值；（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6

Question

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=(1)/(4)（x-3）²向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．

（1）求∠OBA的正切值；
（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求△ABC的面积；
（3）点D在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA=∠OBA时，求点D坐标．

Answer 1

（1）设平移后的抛物线表达式为y=(1)/(4)（x-3）²+k，把A（8，0）代入表达式解得k=-(25)/(4)，
∴平移后的抛物线表达式为y=(1)/(4)（x-3）²-(25)/(4)，
如图，

把x=0代入得y=(1)/(4)（x-3）²-(25)/(4)，得y=-4，
∴B（0，-4），
在RT△AOB中，tan∠OBA=(OA)/(OB)=2，
（2）把y=6代入y=(1)/(4)（x-3）²-(25)/(4)，解得x₁=-4或x₂=10（舍去），
∴C（-4，6），
如图，

∴直线AC解析式为y=-(1)/(2)x+4，
设AC与y轴交于点E，则点E的坐标为（0，4），
∴S_△ABC=S_△BCE+S_△ABE=(1)/(2)BE•|C_横坐标|+(1)/(2)BE•OA=16+32=48，
（3）如图，设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，

∵FN∥BO，
∴∠OBA=∠DNA，
∵∠BDA=∠OBA
∴∠BDA=∠DNA，
∴△NAD∽△DAB，
∴(AD)/(AN)=(AB)/(AD)，即AD²=AN•AB，
∵FN∥BO，
∴(AN)/(AB)=(AF)/(AO)=(5)/(8)，
∴AN=(5)/(8)AB，
设点D的坐标为（3，m），
由题意得AF²+m²=AD²，即5²+m²=(5)/(8)（4√(5)）²，
解得m=5（负值舍去），
∴点D（3，5）．