f-1(x)和f(y)一样吗?（大学高数）我觉得一样,但是反函数求导的时候是这俩的导数乘起来等于一,十分不解,求指导!

Question

f-1(x)和f(y)一样吗?（大学高数）
我觉得一样,但是反函数求导的时候是这俩的导数乘起来等于一,十分不解,求指导!

Answer 1

y=f-1(x)等价于x=f(y)
y=f-1(x)对x求导,即可得到df-1(x)/dx=dy/dx
x=f(y)对y求导,即可得到df(y)/dy=dx/dy
所以两个才互为倒数
应该从定义上理解,导数就是因变量增量与自变量增量之比
在y=f-1(x)里面,x是自变量,y是因变量,所以导数为Δy/Δx的极限
在x=f(y)里见面,y是自变量,x是因变量,所以导数为Δx/Δy的极限