希望能够有较详细的解题步骤以及思路,1、若关于x的不等式ax²+bx+1＞0的解集是{x|-1

Question

希望能够有较详细的解题步骤以及思路,
1、若关于x的不等式ax²+bx+1＞0的解集是{x|-1

Answer 1

1. 令y=ax^2+bx+1 

   由解集是{x|-1<x<1/3}知a<0,且x=-1,x=1/3是y=0的两个解(或由二次函数的图像可以清晰的看出)

   由韦达定理,-1+1/3=-b/a       -1x1/3=1/a

   从而a=-3  b=-2     ab=6

2. M,N均是y的集合,故需求出y=1-6x-x²和y=5+2x-x²的值域

   y=1-6x-x²=-(x+3)^2+10≤10   故M={y|y≤10}

   y=5+2x-x²=-(x-1)^2+6≤6       故N={y|y≤6}

   因此,N真包含于M

3. 由于A,B的元素是整数点(x,y),A∩B≠空集就是y=3x+1与y=x^2-x+a+1在正整数点出有交点

   则3n+1=n^2-n+a+1    得a=(4-n)n

   a,n都是正整数,依次取n=1,2,3得到a=3,4,3

   所以a=3或4时,它们有交点,即A∩B≠空集

   (说明：a=3时,有两个交点(1,4),(3,10) ;a=4时,只有一个交点(2,7))

4. 令f(x)=kx²,g(x)=(k²-1)x+k,|x|≤2   则题设条件变为

   f(x)-g(x)>0即f(x)>g(x)   |x|≤2 

   采用数形结合的思想：只要在|x|≤2时,f(x)的图像在g(x)图像的上方就可以了

   下面对k进行分类讨论：

   1)k=0时,f(x)=0 ,g(x)=-x    从而在|x|≤2时, f(x)的图像不总在g(x)图像的上方  不合题意

   2)k>0时,g(x)过点(0,k)   而f(0)=0<g(0)=k    不合题意

   3)k<0时,f(x)开口向下,由于g(x)是一条直线,所以只要两个端点g(-2)和g(2)在f(x)下方即可,即g(-2)<f(-2), g(2)<f(2)

   从而,2k^2+3k-2>0     2k^2-3k-2<0   解得：k=空集   

   从而不存在满足条件的实数k.